Zusammenfassungen

Habe als Student einige Zusammenfassungen (sparkcharts) geschrieben. Möglicherweise könnten die für euch nützlich sein.

Lineare Algebra

Differenzieren

Integrieren

Kurven

Ich bin sicher es haben sich auch noch einige Fehler versteckt. Wenn jemand einen Fehler findet wäre ich dankbar wenn er mich kontaktieren würde.

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Kategorien:Verschiedenes

Musterlösung zur Fixpunktaufgabe

Da bei Aufgabe 2 des Tests größere Probleme aufgetreten sind, haben wir uns beschlossen, hier eine Musterlösung zu publizieren!

Aufgabenstellung: Betrachten Sie das Newtonverfahren, welches durch die Fixpunktiteration von T(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)} gegeben ist, und zeigen Sie, dass dieses für die Funktion f(x)=3x^2+4x-2 auf der Menge M=[-2,-4/3] konvergiert. Ermitteln Sie weiters den Fixpunkt von T. Für diese Aufgabe dürfen Sie annehmen, dass T(M) \subset M gilt.

Lösung:  Um eine Fixpunktiteration auf ihre Konvergenz zu überprüfen benötigen wir den Banach´schen Fixpunktsatz: Sei (M,d) ein metrischer Raum, M \subset X abgeschlossen, T: B \rightarrow B eine Kontraktion (also die Lipschitzkonstante L<1). Dann hat T einen Fixpunkt in M.

Laut Angabe müssen wir die Selbstabbildung nicht mehr zeigen, da wir bereits T(M) \subset M gegeben haben. Unser Raum ist \mathbb{R}, also ein metrischer Raum und die gegebene Teilmenge M ist abgeschlossen. Wir müssen also nur noch zeigen, dass wir eine Kontraktion vorliegen haben, um alle Voraussetzungen erfüllt zu wissen. Da die Funktion nicht monoton ist, gab es den Hinweis, den Mittelwertsatz für Ableitungen zu verwenden, um die Lipschitzkonstante zu berechnen. Der Mittelwertsatz lautet:

x>y: T(x)-T(y)=T'(\xi)(x-y) mit c \in [y,x].

Wir können also verwenden, dass

|T(x)-T(y)|=|T'(c)|(x-y)\leq\underset{c\in[-2,-4/3]}{\max}|T'(c)||x-y|.

Wir benötigen also das Maximum der ersten Ableitung im Intervall. Dafür berechnen wir die zweite Ableitung: T''(x)=\frac{30}{(3x+2)^{3}} \neq 0. Wir können also folgern, dass die erste Ableitung monoton ist, und das Maximum am Rand angenommen werden kann (da die Polstelle nicht in M liegt). Überprüfen wir also die Randpunkte: T'(-2)=3/16 und T'(-4/3)=-3/4. Das Maximum des Betrags ist also 3/4 < 1, wir haben also eine Kontraktion und somit konvergiert das Verfahren.

Eine Fixpunktgleichung hat die Form T(x)=x, in diesem Fall also x-\frac{3x^2+4x-2}{6x+4}=x. Da sich x in dieser Gleichung wegkürzt, genügt es, die Nullstellen des Zählers zu berechnen, also die quadratische Gleichung 3x^2+4x-2=0. Diese hat die Nullstellen \frac{\sqrt{10}-2}{3} und -\frac{\sqrt{10}+2}{3}. Nur die zweite Lösung liegt in der gegebenen Menge und ist somit der Fixpunkt.

Durchängendes Kabel

Die Frage ist etwas weniger mathematisch als gewohnt. Wie hängt ein Kabel im Gravitationsfeld der Erde? Dazu müssen wir h(x) finden so dass

\int_c^d h(x)\sqrt{1+h'(x)^2}

extremal wird (das ist gerade die potentielle Energie in einem gleichförmigen Feld). Dazu verwenden wir die Euler-Lagrange Gleichungen (deren Herleitung hier nicht gemacht wird) und erhalten

\sqrt{1+h'(x)^{2}}=\frac{d}{dx}\frac{h(x)h'(x)}{\sqrt{1+h'(x)^{2}}}

und damit

\sqrt{1+h'(x)^2} =\frac{h(x)h''(x)+h'(x)^2+h'(x)^4}{\sqrt{1+h'(x)^2}^3}

also

1+h'(x)^2 = h(x)h''(x).

Die Lösung der Gleichung ist nicht einfach aber der Ansatz C \cosh (Dx) ergibt eine Familie von Lösungen a \cosh (x/a) . Wenn wir ein Interval [-1,1]  als Interval festlegen ist die Länge des Kabels

\int_{-1}^{1}\sqrt{1+h'(x)^{2}}=\int_{-1}^{1}\cosh(x/a)=2a\sinh(x/a) .

Als Kontrolle berechnen wir

\lim_{a\to\infty} 2 a \cosh(x/a) = 2

was die kürzestmögliche Verbindung ist.

Man erhält also den \cosh als natürliche Lösung einer nichtlinearen Differentialgleichung. Dass a \cosh(x/a) eine Lösung ist findet man durchaus an einigen Stellen aber eine explizite Herleitung habe ich im Internet nicht finden.

Kategorien:Verschiedenes

Substitution bei Integration

Nicht jede Funktion kann in einem Integral blind substituiert werden. Nehmen wir zum Beispiel das Integral aus dem Proseminar:

\int_{0}^{1}\text{e}^{\sqrt{t}}\text{d}t=2\int_{0}^{\sqrt{1}}x\cdot\text{e}^{x}\text{d}x

Dies ist nun mit partiellem Integrieren einfach zu lösen. Erweitern wir dieses Beispiel nun:

\int_{-1}^{2}\text{e}^{\sqrt[4]{x^{2}}}\text{d}x

Hier könnte man nun auf die Idee kommen, mit der Funktion u=x^{\frac{4}{2}}=x^{\frac{1}{2}}

zu substituieren:

2\int_{1}^{4}\text{e}^{u}u\text{d}u=6\cdot\text{e}^{4}

Das tatsächliche Ergebnis ist jedoch 4+2\text{e}^{\sqrt{2}}\sqrt{2}-2\text{e}^{\sqrt{2}}

Das Problem besteht darin, dass die Funktion mit der wir substituieren, nämlich x^2 auf dem gegebenen Bereich nicht bijektiv ist. Schränken wir die Funktion auf die positiven Zahlen ein, so ist die Bijektivität wieder gewährleistet. Außerdem sei hier noch einmal festgehalten, dass \sqrt[4]{x^{2}}=\sqrt{|x|} gilt! Die korrekte Lösung des Integrals erhalten wir, in dem wir das Integral auf die Intervalle aufspalten, in welchen x^2 bijektiv ist, und dann substituieren.

\int_{-1}^{0}\text{e}^{\sqrt{-x}}\text{d}x+\int_{0}^{2}\text{e}^{\sqrt{x}}\text{d}x

Diese beiden Integrale sind nun wie in der Proseminaraufgabe oben lösbar (und werden hier dem Leser als Übung überlassen).

Kommen wir nun zur nächsten Aufgabenstellung aus dem Proseminar: Gegeben ist a,b\in\mathbb{R},\text{ mit }a<b,\quad f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}   stetig differenzierbar und f(s)>0 für alle s\in [a,b]. Wir sollen nun eine Stammfunktion von \frac{f'(x)}{f(x)} bestimmen.

Betrachtet man nun das Integral \int_{a}^{b}\frac{f'(x)}{f(x)}\,\text{d}x, könnte man nun auf die Idee kommen, mit f(x) zu substituieren. Da laut unserer Angabe die Funktion f(x)>0 gegeben ist, jedoch nicht f'(x)>0, kann hier leider keine Aussage über die Bijektivität dieser Funktion getroffen werden. (Im zweiten Fall wüssten wir, dass die Funktion auf unserem Bereich monoton ist – eine monotone Funktion ist automatisch bijektiv, und die Substitution wäre somit einwandfrei.)

Vielleicht ist bereits manchen Lesern aufgefallen, dass x^2 als Substitution manchmal funktioniert, obwohl die Funktion auf \mathbb{R} ja nicht bijektiv ist.  Man beachte, dass die Formel

\int_{g(a)}^{g(b)} F(x)\,\text{d}x = \int_a^b F(g(u)) g^{\prime}(u)\,\text{d}u

für beliebige stetig differenzierbare Funktionen g richtig ist (i.e. Bijektivität ist in diesem Fall nicht notwendig). Das erste Problem kann nicht in dieser Form geschrieben werden, daher schlägt die Substitution fehl. Das Problem aus dem Proseminar ist aber von der oben gegebenen Form für F(x):=1/x und g(u):=f(u), in diesem Spezialfall kommt man also tatsächlich ohne Bijektivität aus, allerdings nur, weil dieser Satz hier gilt (und somit zitiert werden muss).

ACHTUNG: diese Form liegt im ersten Beispiel NICHT vor, was uns wieder zur Argumentation der Bijektivität führt!

Es hilft auch dem Verständnis die Transformationsformel in einer Dimension (siehe z.B.: wikipedia) auf diese Fälle anzuwenden und deren Unterschied zur oben gegebenen Formel herauszuarbeiten.

Noch ein kleiner Nachtrag: ich habe im ersten Beispiel absichtlich nicht von [-1,1] integriert, da wohl jedem auffallen würde, dass bei diesem Bereich bei einer Substitution mit x^2 ein Integral 0 herauskommt, egal welche Form der Integrand besitzt. In einem solchen Fall ist es leicht einzusehen, dass Bijektivität verletzt wird und das Integral keinen wirklichen Sinn mehr macht.

Kategorien:Integration

Partialbruchzerlegung

Es gibt zumindest zwei weithin bekannte Methoden um eine Partialbruchzerlegung durchzuführen. Im Wesentlichen handelt es sich dabei um zwei Methoden, um die Koeffizienten von Polynomen zu bestimmen. Beide Methoden basieren auf dem Prinzip des Koeffizientenvergleichs (i.e., zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich sind).

Eine weitere Methode für Partialbruchzerlegung kommt aus der komplexen Analysis und wird hier kurz erörtert:

Im Spezialfall einfacher Nullstellen (i.e., keine Nullstelle des Nenners tritt zwei mal auf) können wir

\frac{p(x)}{q(x)} := \frac{p(x)}{\prod_{k=1}^n (x-x_k)},

umschreiben als

\frac{p(x)}{q(x)} = \sum_{k=1}^n \frac{p(x_k)/q^{\prime}(x_k)}{x-x_k}.

Wir können also in diesem Fall, sobald wir die Nullstellen kennen, die Koeffizienten mittels differenzieren und einsetzen berechnen (also insbesondere ohne ein Gleichungsystem zu lösen).

Den Ausdruck \frac{p(x_k)}{q^{\prime}(x_k)} nennt man das Residuum von f/g bei x_k. Dabei handelt es sich um einen Ausdruck aus der komplexen Analysis. Im Rahmen dieser Theorie ist der Beweis denkbar einfach. Daher kann dieser Satz auch auf komplexe Partialbruchzerlegungen angewendet werden, z.B.:

\frac{1}{1+x^2}

kann mittels p(x)/q^{\prime}(x) = \frac{1}{2x}, p(i)/q^{\prime}(i) = \frac{1}{2i} = -i/2 und p(-i)/q^{\prime}(-i) = \frac{-1}{2i} = i/2 in

\frac{1}{1+x^2} = \frac{-i/2}{x-i} + \frac{i/2}{x+i}

zerlegt werden.

Exponential einer Matrix, oder warum Eigenwerte wichtig sind

In Differentialgleichungen erhält man oft als Lösungsansatz eine exponentielle Funktion. Da Gleichungen allerdings auch im System vorkommen, möchte ich hier eine kleine Einführung dazu geben, was das Exponential einer quadratischen Matrix eigentlich bedeutet und wie es zum Lösen von Systemen von Differentialgleichungen verwendet werden kann.

Die Idee ist es, das Exponential über die Reihenentwicklung zu definieren, d.h.

e^X=\sum_{k=0} ^ \infty \frac{X^k}{k!}

Dies ist für X \in \mathbb{R} die Reihendarstellung der Exponentialfunktion und konvergiert in diesem Fall immer. Aus der Reihendarstellung folgern wir (es ist durchaus eine gute Übung diese Relationen nachzurechnen)

\exp(0)=I_n

\quad (\exp(X))^{-1}=\exp(-X) (die Matrix ist also Invertierbar)

\exp(YXY^{-1})=Y \exp(X) Y^{-1}  für Y eine invertierbare Matrix

\exp( \text{diag}(x_1,...,x_n))=\text{diag}( \exp(x_1),..., \exp(x_n)).

Können wir also unsere Matrix diagonalisieren als A=TDT^{-1}, so erhalten wir also das Exponential dieser Matrix einfach durch

\exp(A)=T \exp(D) T^{-1},

wobei natürlich T die Matrix der Eigenvektoren und D die Matrix mit den dazugehörigen Eigenwerten in der Diagonale ist.

Kommen wir nun zu einer Anwendung:

Wie vielleicht schon bekannt ist, hat eine Differentialgleichung der Form

y'=ay,\quad a \in \mathbb{R}

eine Lösung

y(x)=\exp (ax).

Nun kann es uns passieren, dass wir vor einem System solcher Gleichungen stehen:

x_1' = a_{11}x_1+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_n

...

x_{n}' = a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}

Dieses System kann man kurz in Vektorschreibweise darstellen:

x'=Ax,\quad A \in \mathbb{R}^{n\times n}

Nun muss man sich überlegen, ob man den Lösungsansatz für den skalaren Fall eventuell wieder verwenden kann. Tatsächlich stellt sich heraus, dass wenn A diagonalisierbar ist, der Ansatz

x(t)=\exp (\lambda \cdot t)\cdot v

eine Lösung darstellt, wobei \lambda ein Eigenwerte von A und v der dazugehörige Eigenvektor ist. Eine Lösung zu einem allgemeinen Anfangswert ist dann durch

x(t) = \exp(t A) v_0

gegeben.

Kategorien:Foundations, Matrizen

irrationale Zahlen

Es ist nicht von vorneherein klar, ob eine Zahl nun irrational ist oder nicht. Wir wissen zwar, dass Ausdrücke wie \sqrt(2), \sqrt(3), e, \pi, … irrational sind, es ist aber nicht immer klar, warum dies auch gilt.

Für \sqrt(2) haben wir die Irrationalität bereits im Artikel „Beweise“ gezeigt, indem wir einfach einen Beweis durch Widerspruch verwendet haben. Dies ist meistens ein guter Ansatz, funktioniert allerdings nicht immer so einfach wie bei dieser speziellen Zahl.

Ich möchte hier die wohl berühmteste irrationale Zahl \pi verwenden, um ein paar Beweisskizzen für die Irrationalität zeigen:

1)  Lambert bediente sich einer Eigenschaft von \pi, die natürlich nicht für jede andere irrationale Zahl verwendet werden kann:

\tan(\frac{\pi}{4})=1

Lambert konnte zeigen, dass der Tangens auch folgenderweise dargestellt werden kann:

\tan(x)=\frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-\frac{x^2}{7-...}}}}

Weiters bewies er, dass für ein x \neq 0 und rational, dieser Ausdruck irrational sein muss. Da aber \tan(\frac{\pi}{4})=1, muss also \pi/4 und somit also \pi irrational sein.

2) Niven bedient sich stattdessen der Eigenschaft, dass \pi die erste positive Nullstelle von \sin(x) ist:

Er nimmt an, dass \pi=a/b \quad a,b \in \mathbb{N} , b \neq 0. Weiters definiert er die Funktionen f(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}, \quad x \in \mathbb{R} und F(x)=f(x)+...+(-1)^j f^{(2j)} (x)+...+(-1)^n f^{(2n)} (x), \quad x \in \mathbb{R}.

Nun zeig man, dass f^{(2k)}(0) \in \mathbb{Z} und f^{(2k)}(\pi) \in \mathbb{Z}, \quad k \in [0,n].

Die dritte Funktion l(x)=F'(x)sin(x)-F(x)cos(x) ist offenbar die Stammfunktion für f(x)sin(x). Es gilt also

\intop_{0}^{\pi}f(x)\sin(x)\text{d}x=l(\pi)-l(0)=F(p)+F(0)

Da wir uns auf dem Intervall 0<x<\pi bewegen, kann man leicht sehen, dass auf diesem Intervall gilt: 0<f(x)<\frac{\pi^n a^n}{n!} und 0<\sin(x)<1.

Multiplizieren wir diese beiden Ungleichungen, erhalten wir 0<f(x)sin(x)<\frac{\pi^na^n}{n!}<1. Das letzte < ist wahr für genügend große n. Für genügend große n gilt weiters, dass \frac{\pi (\pi a)^n}{n!}<1 also erhält man

0<f(x)\sin(x)<\frac{\pi^n a^n}{n!}<1/\pi

Integrieren wir diese Ungleichung, erhalten wir

0< \intop_{0}^{\pi}f(x)\sin(x)\text{d}x <\intop_{0}^{\pi}\frac{1}{\pi}\text{d}x=1

Das innere Integral muss also echt größer als Null und echt kleiner als 1 sein. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass der Wert \in \mathbb{Z} ist.

In diesen kurzen Beweisskizzen wird klar, dass der Beweis durch Widerspruch durchaus eine zulässige Idee ist, eine irrationale Zahl jedoch oft nicht rein dadurch als solche identifiziert werden kann, sondern dass auch ihre Eigenschaften ausgenutzt werden müssen.

Für weitere und ausführlichere Varianten des Beweises, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

Außerdem gibt es unter http://de.wikipedia.org/wiki/Irrationale_Zahl eine nette Liste, die aufzählt, welche irrationale Zahlen bereits als solche bewiesen wurden, und welche Zahlen als solche noch vermutet werden.

Kategorien:Verschiedenes